エンジニアとしての経験が少ないのですが、どのようにアピールすればよいでしょうか？

経験年数や経験範囲が浅い場合は、業務以外での資格取得や自主制作したシステムなど、自己研鑽のエピソードを書いてアピールしましょう。仮に、職務経歴書に業務経験を誇張して書いたとしても、面接の場で具体的な話をした際にすぐ分かってしまいます。

独学で勉強した場合でも、データサイエンティストなどの求人に応募してもよいでしょうか？

応募すること自体は問題ありません。実務経験がない場合でも、データサイエンスに使われている言語でプログラムを組み、Webで公開するなど、業務につながりそうなアウトプットを提示できるとよいでしょう。学生時代の経験などがあれば記載するようにしてください。

エンジニアとして保守運用の業務を担当しています。不具合対応やメンテナンスで深夜休日に働かざるを得ません。この状態を変えることはできるでしょうか？

状況を変えるには大きく2つの手段が考えられます。1つ目はスキルアップして業務内容を変えることです。年齢とともに割り振られる業務が変わる可能性もありますし、自己研鑽して保守運用以外の業務も覚えていくことで、キャリアアップできる場合があります。2つ目は転職して就業環境を変えることです。社内SEであれば保守運用業務でもあまり厳しい環境ではないことが多いです。ただし、社内SEに転職できるだけの実績を積む必要があるため、1つ目のスキルアップと同時進行で進めるのがよいでしょう。